Los americanos sostienen que en la vida hay dos cosas inevitables: la muerte y
los impuestos. Se le ha olvidado una: los pelos en el suelo de casa. No sé como
están los demás, pero el suelo de mi casa está diseminado de pelos (sobre todo
desde que me he dejado el pelo muy largo). Parece increíble que todavía no me he
vuelto calvo, pero, a pesar de que el espejo me dice que todavía tengo todo mi
pelo, el suelo es de otra opinión.
Además, una aplicación elemental de la ley de Murphy al pelo en el suelo nos
garantiza que este se colocará en los lugares donde más difícil es llegar para
barrerlo: pegado a las paredes y, con particular predilección, en los rincones.
Pero esta vez el pobre Murphy es inocente: la culpa del pelo en los rincones es
de las matemáticas. Veamos por qué.
Empecemos con hacer los que mejor saben hacer los matemáticos: simplificar el
problema. Se trata de un paso muy importante en matemáticas y en física:
intentamos eliminar del problema todas las características secundaria hasta
llegar a un problema más sencillo de resolver que pero mantiene la esencia del
problema original. Se trata de un proceso de
abstracción: ignoramos lo
inesencial y extraemos del problema original sólo los aspectos fundamentales
(abstracción deriva del latín
abstraho---sacar fuera). El proceso es
peligroso: intentando simplificar el problema podemos acabar eliminando aspectos
que, lejos de ser secundarios, se revelan esenciales. Por esto la ciencia hace
experimentos: una vez que hemos desarrollado una teoría mediante abstracción, es
necesario ponerla a prueba comparandola con el problema original. En nuestro
caso: la teoría que vamos a desarrollar, por simplificada que sea, debe
explicarnos por qué el pelo termina siempre en los rincones. La teoría que vamos
a utilizar es muy conocida en matemáticas y en física como teoría de los
paseos aleatorios. Los paseos aleatorios tiene una larga y honrada
tradición. El primer ejemplo, y el más conocido, es el llamado
Movimiento Browniano, en honor del botánico Robert Brown, quien, en 1837
observó el movimiento de minúsculas partículas suspendidas en líquidos,
movimientos que resultó ser un ejemplo de paseo aleatorio. Una de las
contribuciones más destacada es la de Albert Einstein que, en 1905 desarrolló
una teoría que explica matemáticamente los resultados que aquí vamos a conseguir
con simulacione.
Paseos Aleatorios
Simplifiquemos, pues, el problema. Empezaremos con ocuparnos sólo de un pelo. Es
obvio que, si conseguimos describir el comportamiento de un pelo, podemos
aplicar el mismo razonamiento a todos los pelos que tenemos en el suelo y
explicar por qué se acumulan. En segundo lugar, consideraremos un problema en
una sola dimensión. Es decir, consideraremos que el pelo sólo se mueve en una
dirección, en los dos sentidos. Si conseguimos explicar por qué en este caso los
pelos se acumulan en un punto determinado, no será difícil extender la solución
al caso de dos dimensiones, simplemente considerando una dimensión a la vez (con
cuidado, como veremos a continuación). Tenemos por tanto esta situación:
La posición del pelo se describe con un solo número: la distancia $x$ (con
signo) desde el punto inicial, que consideraremos como nuestro punto $x=0$. Si
en un determinado momento $x>0$, el pelo se ha movido hacia la derecha, si $x<0$
se ha movido hacia la izquierda.
¿Por qué se mueve el pelo? Lo que mueve el pelo en nuestro suelo son las
pequeñas corrientes de aire provocada por las causas más heterogéneas, desde una
ventana que se abre, hasta la corriente provocada por una puerta que se cierra o
por nosotros mismos pasando por ahi. Se trata de pequeños movimientos de aire
esencialmente aleatorios e impredicibles. Por esto haremos un modelo del
movimiento de nuestro pelo basado en los que los matemáticos llamámos
paseos aleatorios
Esta es la idea. El paseante (yo, por ejemplo) se encuentra inicialmente en la
posición $x=0$ y decide hacer un paso hacia la derecha o hacia la izquierda
digamos cada $10$ segundos. Para decidir la dirección, lanzo una moneda: si sale
cara hago un paso hacia la izquierda, si sale cruz hago un paso hacia la
derecha. La primera pregunta que nos surge es obvia: tras haber dado $t$ pasos,
¿dónde estaré? No podemos dar una respuesta exacta a esta pregunta, dado que la
respuesta depende de la secuencia específica de caras y de cruces que han salido
cuando he lanzado la moneda, pero podemos dar una respuesta estadística. Si
repito el paseo muchas veces (digamos, $1000$ veces), ¿cuantas de estas veces
acabaré en una posición dada? La respuesta depende de la longitud del paseo. En
la Figura 1 vemos la probabilidad de acabar en una posición dada por varios
valores the la longitud del paseo.
La primera cosa que nos llama la atención es que tenemos máxima probabilidad de
acabar en la posición de donde hemos salido: el pico de la función siempre está
en $x=0$: cuando hacemos un paseo aleatorio, lo más probable es que no lleguemos
a ningún lado. Por otro lado, la probabilidad de acabar en posiciones que no son
la inicial cambia con la longitud del paseo. Con paseos más largo, el "pico" es
más bajo, y las "alas" son más amplia. Esto quiere decir que, si paseamos
muchos, tenemos una probabilidad un poco mejor de acabar más lejos de donde
hemos salido.
En cualquier caso, si alguien tuviera la idea de usar paseos aleatorios para
moverse por la ciudad, mejor que cambie de plan. El problema de los paseos
aleatorios es que no nos llevan muy lejos. Si nos movemos en una dirección
determinada a velocidad constante, la distancia a que llegamos es proporcional
al tiempo en que andamos (es decir: si caminamos el doble del tiempo, llegamos
el doble de lejos de nuestro punto de partida). En un diagrama que tiene en
abscisas el tiempo y en ordenadas la distancia desde la salida, esta es una
línea recta. En la Figura 2, esta es la línea azul, mientras que la línea roja
es la distancia máxima a que llegamos con un paseo aleatorio.
Está claro que con el paseo aleatorio no llegamos tan lejos como con un paseo
determinado. De hecho, la curva del paseo aleatorio se parece bastante a la
curva negra, que es una curva del tipo $d=\sqrt{t}$. Esto quiere decir que si
nos movemos con un paseo aleatorio, para llegar al doble de la distancia desde
el punto de partida tendremo que caminar un tiempo cuatro veces mayor.
El pelo en los rincones
El pelo en el suelo de que nos estamos ocupando ejecuta un paseo aleatorio bajo
el empuje irregular de las pequeñas corrientes de aire. Pero se trata de un
paseo especial, de un paseo "vinculado". Si el pelo llega por azar a una pared,
no puede ir más allá. Además, cuanto más cerca el pelo esté de la pared, tanto
menos probable es que las corrientes les lleguen del lado de la pared, es decir,
a medida que se acerca a la pared, se hace más probable que las corrientes
aleatorias lo empujen hacia la pared. Podemos ver la evolución de ese paseo en
la Figura 3
Al principio (curvas rojas y azul), el paseo no se distingue demasiado de uno
normal: en muchos casos el pelo todavía no ha tenido tiempo de llegar a la
pared. Hay unos pequeños bultos en la línea azul que indican que, en ciertos
experimento, el pelo sí ha llegado a las paredes. En la línea verde, tras 500
lanzamientos de moneda, se nota algo de irregularidad, pero el pelo empieza a
estar con más probabilidad en las paredes. Finalmente, en la línea negra, vemos
que la probabilidad más grande de encontrar el pelo es en las paredes.
Lo que hemos hecho aquí es un experimento en una dimensión, pero podemos
fácilmente imaginar dos paseos aleatorios, independientes en las dos dimensiones
del suelo de nuestros pisos: habrá corrientes de aire en las dos dimensiones y
en cada dimensión las características del paseo empujarán el pelo hacia la
pared. Por tanto el pelo acabará terminando, y no por su culpa, en el único
lugar en que hay una pared en ambas dimensiones: en el rincón.
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