Utilizaremos un juego que jugaba de niño con mi familia en los largos recorridos en coche (estoy hablando de un tiempo en que no podíamos simplemente estar cada uno por su cuenta jugando con el móvil sin ni siquiera reconocer que los otros estaban allí). Lo que hacíamos para distraernos era jugar a poker con las matrículas de los coches. Un coche tiene cuatro números en la matrícula (en España, en otros países este número varia), y a turno observábamos la matrícula de los coches que llegaban asignándonos puntos según las combinaciones permitidas del poker. La pregunta a que quiero contestar aquí es: ¿cuántas combinaciones de cuatro cifras hay que proporcionan puntos?
Con cuatro cifras se pueden crear 10.000 números (desde $0000$ hasta $9999$). Olvidemos por el momento las escalas, e intentemos contar cuantas otras combinaciones hay. Cada combinación del poker que da punto (excepto las escalas) tiene por lo menos dos números iguales (par, tris, full house, etc.), por tanto para contarlas podemos trabajar de una manera indirecta: ¿cuántas combinaciones no dan puntos? Si calculamos este número y lo restamos de $10.000$ conseguimos las combinaciones que buscamos.
Empecemos a construir un número de cuatro cifras sin repeticiones. Consideremos la primera cifra: en este lugar podemos poner cualquier número de 0 a 9, es decir, para la primera cifra tenemos $10$ posibilidades ($0, 1, 2, \ldots, 9$)
Una vez que hemos decidido una primera cifra (es decir, que hemos elegido una de las $10$ posibilidades), ¿cuántas posibilidades tenemos para la segunda cifra? Pues, queremos crear números sin repeticiones por tanto si la primera cifra era, por ejemplo, un $2$, para la segunda tenemos $9$ posibilidades (cualquier cifra menos el $2$). Este razonamiento lo podemos repetir por cada una de las $10$ posibilidades de elección de la primera cifra. Por tanto para tener un número de dos cifras sin repeticiones tenemos \begin{equation} 10 \times 9 = 90 \end{equation} posibilidades. Que es así es fácil comprobarlo: tenemos todas las $100$ posibles combinaciones de dos cifras excepto $10$ combinaciones ($00, 11, \ldots, 99$), lo que nos da $90$.
Ahora la tercera cifra: por cada una de las combinaciones que tenemos de dos cifras, podemos elegir la tercera cifra en $8$ maneras diferentes (todas excepto las que ya hemos elegido para la primera y la segunda cifra). Esto vale por cada una de las combinaciones, por tanto los números de tres cifras sin repeticiones son \begin{equation} 10 \times 9 \times 8 = 720 \end{equation} Ahora la mecánica es clara: para la cuarta cifra podemos elegir $7$ posibilidades diferentes, es decir los números de cuatro cifras con todas las cifras diferentes son \begin{equation} 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5.040 \end{equation} Estos son los números con todas las cifras diferentes, es decir, los que no dan puntos. Los números que dan puntos (otra vez: sin contar las escalas) son \begin{equation} 10.000 - 5.040 = 4.960 \end{equation}
Nos quedan por considerar las escalas. Hay siete escalas posibles: $0123, 1234, \ldots, 6789$ pero, claramente, no es necesario que las cifras estén ordenadas, es decir, un número como $2314$ sigue siendo una escala.
Consideremos una de esas escala, por ejemplo la escala $0123$. Haremos unas consideraciones parecidas a las de la primera parte pero, esta vez, con las posiciones de las cifras. ¿Dónde está el $0$? Hay cuatro posiciones posibles. Por cada una de estas $4$ posiciones, quedan $3$ posiciones posibles donde poner el $1$, por cada posición del $0$ y del $1$, quedan $2$ posiciones para el $2$ y, una vez que hemos puesto el $0$, el $1$ y el $2$, sólo nos queda una posición donde poner el $3$. El número total de números que contienen la escala $0123$ es por tanto \begin{equation} 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \end{equation} Estos son los números que contienen la escala $0123$. Dado que tenemos siete escalas diferentes (y ningún puede contener dos escalas a la vez), el número de posibilidades para una escala es $24\times{7}=168$.
Sumando los resultados obtenidos conseguimos el número total de combinaciones que nos dan punto en el poker de matrículas de coches: \begin{equation} 4.960 + 168 = 5128 \end{equation} Un poco más de la mitad. Si queréis jugar a cara o cruz (donde "cara" quiere decir que se ha visto un número que da puntos y "cruz" que se ha visto uno que no los da), os compensa apostar "cara". La ventaja es pequeña, pero existe.
Contar así puede parecer un poco complicado, pero tiene una gran ventaja: se puede extender. Digamos que vivimos en un país que tiene $6$ cifras en las matrículas. ¿Cuántas combinaciones ganadoras existen? (En este caso consideraremos como ganadoras también el "pentapoker"---cinco números iguales---y el "esapoker"---seis números iguales). Pues, sólo tenemos que extender nuestras consideraciones previas a seis cifras. Si no consideramos las escalas tenemos \begin{equation} 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 151.200 \end{equation} combinaciones (tenemos ahora seis factores, uno por cada una de las seis cifras) no ganadoras y $1.000.000-151.200=848.800$ ganadoras. Las posibilidades para una escala son ahora \begin{equation} 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \end{equation} Esta vez tenemos sólo $5$ escalas posibles (de $012345$ hasta $456789$), por tanto las escalas serán $720\times{5}=3600$ y el número total de combinaciones ganadoras es \begin{equation} 848.800 + 720 = 849.520 \end{equation} Notamos como a medidas que aumenta el número de cifras el número de combinaciones ganadoras aumenta pero, claramente, si tenemos más de 10 cifras ninguna escala es posible.
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