Más matemáticas de las epidemias: las medidas de distanciamiento social

 En el artículo anterior hemos analizado un modelo matemático que describe la evolución de una epidemia. Dos cantidades nos interesan especialmente: el número de infectados $I(t)$ y el número de víctimas $V(t)$. En particular nos interesa lo que el modelo nos puede enseñar sobre las medidas epidemiológicas que podemos utilizar para reducir la difusión del virus.

El modelo depende de varios parámetros. Algunos de ellos no se pueden controlar a través de medidas de tipo social. El parámetro $\gamma$, por ejemplo (el porcentaje de personas que se recuperan una vez contagiadas) depende de los conocimientos médicos que permiten curar los contagiados.

La parte del modelo que podemos cambiar mediates medidas sociales es el factor que determina los contagios:

\begin{equation} \beta \frac{S(t)I(t)}{N} \end{equation}

Podemos hacer un modelo de las restricciones sociales si inroducimos un coeficiente de \dqt{restrucción}, que llamaremos $r$. Si $r=0$, no hay ninguna restricción, y nuestro modelo no cambia. Si $r=1$ estamos en la situación (ideal e imposible) en que nadie entra en contacto con nadie. El factor que determina el contagio es ahora:

\begin{equation} \beta (1-r(t)) \frac{S(t)I(t)}{N} \end{equation}

He escrito $r(t)$ para evidenciar que este factor puede variar en el tiempo según las medidas que se toman. En el caso de la primera ola de la pandemia, por ejemplo, hasta el 14 de Marzo no se ha restringido la circulación, por tanto hemos tenido $r(t)=0$. El 14 de Marzo, con el estado de alarma, los contactos entre las personas se han restringido, y esto ha cambiado el coeficiente de transmisión.

Empecemos con el caso más sencillo: supongamos que se imponen restricciones (es decir, se tiene un $r>0$) desde el principio de la epidemia. ¿Cómo cambia el comportamiento de la epidemia? En la Figura 1 vemos el número de contagiados por cada día en los casos de $r=0$ (ninguna intervención), $r=0.5$ (reducción a la mitad de los contactos) y $r=0.8$ (reducción más drástica).

Tres cosas saltan a la atención: el pico es mucho más bajo, el pico se presenta con retraso, y la curva se dilata. Los primeros dos son lo que esperamos (reduciendo los contactos las cosas mejoran y la epidemia va más lenta), mientras el tercero podría sorprender, y hay que explicarlo.

En el modelo de moléculas de gas, dado un tiempo suficientemente largo, cada persona encontrará cada otra personas un número arbitrario de veces: todo el mundo encuentra a todo el mundo cuantas veces se quiera. Esto quiere decir que, a menor que no tengamos $r=1$ (en cual caso nadie se contagia), dado un tiempo suficientemente largo todo el mundo se contagiará. Por esto el número total de infectados será siempre el mismo, y una curva más baja tiene necesariamente que ser más larga.

Algo que sí cambia, y mucho, es el número de v{\'i}ctimas en un tiempo dado (siempre asumimos que en algún momento la epidemia terminará con una vacunación generalizada). La Figura 2 muestra el número total de víctimas por cada día a lo largo de un año por los mismos valores de $r$.

El número de víctimas, efectivamente, se reduce cuando $r$ aumenta, y cambiar $r$ de $0$ a $0.5$ no tiene el mismo efecto que cambiarlo de $0.5$ a $0.8$: un $r=0.5$ prácticamente no cambia el número de muertos, $r=0.7$ empieza a reducirlo, y $r=0.8$ lo reduce sustancialmente a lo largo del año.

Para obervar mejor este efecto, en la Figura 3, tenemos el número de muertos al cabo de un año como función del valor $r$. 

El número de víctimas empieza a bajar significativamente con $r\sim{0.7}$, antes de este valor las restricciones no tienen un gran efecto. Es importante tener en cuenta esta característica de las epidemias cuando hablamos de como la gente responde a las recomendaciones de limitar los contactos sociales:

Una minoría de personas que no respetan las restricciones o una mayoría que las respeta pero no tanto son suficientes para que las restricciones no tengan prácticamente efecto.

Hasta ahora hemos considerado que las restricciones entran en vigor al principio de la epidemia, pero normalmente este no es el caso. Las restricciones entran en vigor varios días después del comienzo de la pandemia, ya sea por el retraso en la detección, ya sea por varias razones de orden social, político o logístico que retrasan las medidas. Para no tener demasiadas variables, fijemos el valor de $r=0.85$. Con este valor, si las medidas se toman al principio de la pandemia, el número de víctimas se reduce a menos de la décima parte.

En la Figura 4 vemos la curva de mortalidad total por varios valores del día en que se empiezan a tomar las medidas. Está claro que cuanto más se retrasan las medidas, cuantos más muertos hay y que tomar las medidas de restricción cuando ya estamos en el pico prácticamente no tiene efecto. 

Para aclarar el efecto, la Figura 5 muestra el número de muerto al cabo de un año como función del día en que se reduce la transmisión. Si se tarda más de 30 días, el efecto sobre el número de muertos es prácticamente nulo.

Esto nos lleva a la situación que vivimos en España en este momento (finales de Enero de 2021). Sabíamos que las navidades iban a ser un momento de aumento sustancial de contacto, a causa del relajamiento de las precauciones. Muchos de nosotros han tomado medidas, no se han reunido con sus familias y no han salido de fiesta, pero hemos visto en la primera parte de este artículo que las acciones de una minoría han sido suficientes para que las restricciones que la mayoría se ha auto-impuesto fueran inútiles. Los resultados que tenemos ahora nos dicen que tomar medidas ahora, como varias Comunidades Autónomas están intetntando hacer, es inútil. Las medidas hay que tomarlas antes que la curva se acerque al pico: una vez que la curva se acerca al pico, ya no hay nada que hacer, las medidas ya no tienen efecto. Salvar la navidad ha sido una ilusión que ha tenido un coste tremendo, y ahora no tenemos otra elección que pagarlo.