jueves, 8 de mayo de 2025

Astronomía con un palo y un céntimo

En esta época hiper-tecnicizada, la forma más evidente y más publicizada de ciencia es la llamada “big science”: proyectos científicos muy extenso, que usan máquinas enorme y complicadísimas (acceleratores de partículas, telescopios espaciales,…), que recojen muchos Gbyte de datos que, a su vez, necesitan grandes ordenadores paralelo con cientos de CPU para ser procesados. Estamos tan fascinados por la “Big Science” (equivocadamente, en mi opinión) que nos olvidamos del poder de la imaginación y de la observación. La observación (ver lo que pasa) y la imaginación (imaginar que pasaría si…) son instrumentos de gran potencia, que nos permiten llegar a resultados sorprendentes con muy pocos medios… a veces sólo con un palo o una moneda de un céntimo. He aquí tres ejemplos.

 

Contrariamente a lo que sostiene cierta opinión popular, la forma esférica de la tierra era conocida y aceptada desde la antigüedad. EL diámetro de la tierra fue calculado, con muy buena aproximación, por Eratóstenes, en el siglo III a.C. Eratóstenes sabía que alrededor del 22 de Junio, en la ciudad egipcia de Swenet (hoy Aswan), el sol iluminaba el fondo de los pozos sin proyectar sombra en las paredes, es decir, la luz del sol caía verticalmente (Swenet está muy cerca del trópico del Cancro: 23.5 grados de latitud norte, como sabemos hoy). En Alejandría, Eratóstenes plantó un palo en el suelo el 22 de Junio y midió su sombra:
Midiendo la longitud del palo ($L$) y de la sombra ($l$), Eratóstenes calculó que el angulo que formaba el palo con la línea que unía el vértice del palo con el de la sombra era

 

\[ \alpha \approx \frac{l}{L} = 7.12^o \]

 

La tierra es un círculo que cubre $360^o$, por tanto, si la distancia entre el sol y la tierra es grande (ya veremos que lo es), los rayos que pasan por Swenet y Alejandría se pueden considerar paralelo y el angulo $\alpha$ al centro de la tierra entre Swenet y Alejandría es igual al angulo que Eratóstenes ha medido:
Si $d$ es la distancia entre Swenet y Alejandría y $C$ la corcunferencia de la tierra, podemos escribir la ecuación

 

\[ \frac{C}{d} = \frac{360}{7.12} \approx 50 \]

 

La distancia $d$ se conocía, y era de $5.000$ stadias (unos $800$ Km), por tanto la circunferencia de la tierra era de $250.000$ stadia, o unos $40.000$ Km, un resultado consistente (con un error de pocos puntos porcentuales) con lo que sabemos hoy.

 

Pero, ¿es cierto que el sol está muy lejos de la tierra? La respuesta a esta pregunta la dió, también en el Siglo III a.C. (un verdadero siglo de oro para la ciencia y la filosofía) Aristarco de Samo. Aristarco notó que, cuando la luna era en su cuarto, el angulo entre la luna y el sol en el cielo $\alpha$ en la figura) es prácticamente recto
Por tanto el triángulo tierra-luna-sol tiene dos ángulos casi rectos y consecuentemente un vértice (el sol) debe estar mucho más lejos que los otros dos. Concluimos así que la distancia entre el sol y la tierra es mucho más grande que la distancia entre la tierra y la luna. Pero cuando miramos al cielo el sol y la luna nos aparecen con el mismo diámetro, por tanto el sol tiene que ser enorme respeto a la luna. La sombra de la tierra en la luna durante un eclipsis nos enseña que la tierra no es mucho más grande que la luna, por tanto el sol tiene que ser enorme también respeto a la tierra. Pero, argumenta Aristarco, es poco razonable pensar que algo tan grande como el sol gire alrededor de algo tan pequeño como la tierra. Más lógico pensar que el sol (grande) esté inmóvil y que la tierra (pequeña) gire a su alrededor. Lamentablemente esta conclusión no fue compartida por otros astrónomos de la antigüedad, y tuvieron que pasar 1800 años antes que Copernico volviera a popularizar (con muchas dificultades) el universo heliocéntrico.

 

Uno de los más grandes astrónomos de la antigüedad fue Iparco, vivido entre el 190 y el 120 a.C. Con un vuelo de la imaginación absolutamente extraordinario, Iparco imaginó volar en la punta del cono de sombra de la tierra, e imaginó lo que habría visto desde allí. El dibujo siguiente (fuera de escala: el sol es mucho más grande y mucho más lejos) lo ilustra
Vista desde allí, la tierra esconde perfectamente el sol, por tanto el ángulo $\alpha$ es el ángulo bajo el cual de la tierra se ve el sol. En el dibujo he puesto también la luna, a su distancia de la tierra. El ángulo $\beta$ es el ángulo bajo el cual vemos la luna. Desde la tierra, el sol y la luna tienen las mismas dimensiones aparentes, por tanto $\alpha=\beta$ y las dos líneas discontinuas son paralelas. La figura también muestra que el radio de la luna ($r$) más el radio de la sombra de la tierra allí donde está la luna ($r´$) es igual al radio de la tierra ($R=r+r´$). El radio $r´$ se puede estimar mirando una eclipse parcial de luna
Observando la eclipse parcial podemos estimar que $r’\approx2.5r$, por tanto $R\approx3.5r$: el radio de la tierra es má o menos $3.5$ veces el radio de la luna. Cojamos ahora una moneda de un céntimo, que tiene un diámetro de $1.5$cm (Iparco habrá sin duda usado otra moneda, pero no tengo dracmas antiguas a mano…). Si ponemos la moneda a unos $160$cm (es fácil hacer la prueba), la vemos más o menos tan grande como la luna
Utilizando la geometría elemental y las propiedades de los triángulos símies podemos escribir

 

\[ \frac{160}{1.5} = 110 = \frac{d}{D} \]

 

Dado que el diámetro de la tierra es $3.5$ veces el diámetro de la luna, $D$ es $1/3.5$ veces el diámetro de la tierra, y $d$ es $110/3.5=30.6$ veces el diámetro de la tierra, o $367000$km. Un resultado prácticamente exacto conseguido sólo con observación e imaginación. Y una moneda de un céntimo.

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