En realidad, naturalmente, dado un número suficientemente largo de números no es difícil encontrar coincidencia, incluso más de lo que uno a primera vista esperaría. Es noto, por ejemplo, que en un grupo de 23 personas hay una probabilidad superior al 50% que haya dos personas nacidas el mismo día del año. Abriendo ahora mismo un libro al azar, encuentro la página 237. Si a la última cifra le resto la primera consigo 3/5: el 3 de Mayo, que, casualidad, es el día de mi cumpleaños. Una persona con una buena reserva de números y un poco de habilidad matemática puede encontrar coincidencias por doquier.
Sin embargo, a veces las coincidencias no son coincidencias sino indicaciones de fenómenos nuevos, y uno de los ejemplos mejores es el razonamiento que llevó a Newton a descubrir la ley de gravitación universal (lo siento: la historia de la manzana que cae del árbol es apócrifa). Para entender bien lo que llevó a este descubrimiento, quizás el más importante en la historia de la ciencia, es necesario empezar mucho más atrás. En el Siglo V antes de Cristo.
En ese siglo, en la cultura griega, surgió la escuela pitagórica. Las contribuciones de esta escuela a la civilización universal son muchas, pero aquí nos interesa sobre todo una: la idea que el arché, el origen de todas las cosas, es el número, que las relaciones numéricas son esenciales para entender el mundo que nos rodea. Nace de allí una idea, que nos sigue hasta nuestros días, que, como dijo 2000 años después Galileo, el lenguaje en que la naturaleza está escrita es un lenguaje matemáticos, y sus letras son círculos y triángulos. Esta idea fue aplicada sobre todo a la astronomía, creando modelos cada vez más completos y preciso, hasta llegar, en el Siglo III d.C. al sistema tolemáico, la cumbre de la astronomía antigua y medieval.
En la tierra, las cosas siguieron otro camino. Dos Siglos después de Pitagora, Aristoteles creó uno de los sistemas filosóficos más influyentes del mundo. Aristotle fue uno de los mejores científico de la antigüedad, y el fundador de la biología y de la zoología. Lamentablemente, no era un buen matemático, y su física, a pesar de ser un sistema completo y coherente, es esencialmente cualitativa. La física del "mundo sublunar" siguió, hasta Galileo, el sistema de Aristotle. Los fenómenos que se observan cada día eran demasiado complicados para poderse estudiar matemáticamente.
La situación permaneció esencialmente sin cambios hasta el Siglo XVII: el mundo sublunar se estudiaba con la física de Aristotle, esencialmente no matemática, mientras que para los planetas, el sol y las estrellas, se usaba la descripción matemáticas que había preconizado Pitagora.
En el Siglo XVII Galileo inventó el experimento en el sentido moderno de la palabra: en lugar de observar el mundo así como es, como hacía Aristoteles, aislaba un fenómeno especifico y lo estudiaba minimizando las influencia de otros fenómenos. Midió, entre otras cosas, la acceleración de los cuerpos que caen que resultó, una vez eliminada la resistencia del aire, ser la misma para todos los cuerpos: 9.8 m/sec^2 [Esta notación significa que cada segundo la velocidad de un cuerpo que cae aumenta de 9.8 m/sec]. Esto supuso un cambio fundamental: por primera vez se podían escribir leyes matemáticas que explicaban fenómenos de la esfera sublunar. La idea de Pitagora había salido de los cielos para bajar en la tierra.
Esta por tanto era la situación en que se encontraba Newton: había leyes que regulaban el movimiento de los planetas y una física de los eventos en la tierra, pero las dos habían empezado a acercarse: el sistema copernicano se había afirmado, especialmente tras las leyes de Keplero, que permitían calcular la posición de los planeta con una precisión superior a la de Toloméo. Con esto, y con las leyes de Galileo, se abría camino la idea de que el mundo de la astronomía y la física de la tierra podían estar más conectadas de lo que se pensaba, y que las matemáticas podían ser utilizadas en el mundo sublunar.
Newton se planteó un experimento ideal, uno de los que 400 años después Einstein llamaría Gedankenexperiment. Sabía que las características del movimiento de un satélite depende de la distancia de este del cuerpo alrededor de que órbita. ¿Cómo se movería un satélite de la tierra que orbitara a raso de la superficie? Keplero había descubierto que los planetas se mueven en órbitas elípticas, pero los dos ejes de la elipsis se parecen tanto que, en primera aproximación, podemos considerar que las órbitas son circulares. La segunda ley de Keplero (la velocidad de un planeta varia con su distancia del sol) implica que, en nuestra aproximación, el movimiento tiene velocidad uniforme.
La tercera ley de Keplero nos dice que el cuadrado del tiempo de revolución de un cuerpo alrededor de otro es proporcional al cubo de su distancia media de ese cuerpo. En el caso de la tierra, esto implica que el ratio $T^2/R^3$ es igual para todo cuerpo que órbita a su alrededor, desde la estación espacial internacional a los satélites en órbita geoestacionaria. Esta constante no la conocemos a priori, pero Newton tenía un cuerpo muy cómodo para calcularla: la luna. La luna órbita alrededor de la tierra en unos 29 días (unos $2.505.608$ segundos o, usando la notación exponencial que siempre usan los científicos, en unos $2.506\times{10^{6}}$ segundos). Su distancia de la tierra es, usando la misma notación, $3.84\times{10^5}$ (unos $384.000$) Km. Esto nos permite calcular la constante de Kepler que, como hemos dicho, es la misma para todos los cuerpos que órbitan alrededor de la tierra \[ K = \frac{T^3}{R^2} = \frac{(2.5 \times 10^6)^2}{(3.84 \times 10^5)^3} \approx 1.1087 \times 10^{-4} \frac{\mbox{sec}^2}{\mbox{km}^3} \] Consideremos ahora nuestro hipotético satélite que órbita a raso del suelo. Este satélite orbita a una distancia del centro de la tierra igual al radio de la misma (unos $6.000$ km). Si su tiempo de revolución es $T$, tiene que cumplirse la igualdad \[ \frac{T^3}{6000^2} = K = 1.1087 \times 10^{-4} \] Lo que nos da $T=4.893$ segundos. Un poco menos de una hora y media. Este dato nos lo confirman satélites como la estación espacial internacional, que órbitan unos 300 Km más arriba que nuestro satélite hipotético y también tienen un periodo orbital de más o menos una hora y media. ¿A que velocidad se mueve el satélite? Su órbita tiene un radio de unos $6.000$ Km, que corresponde a una circunferencia de unos $38.000$ Km (un poco menor que la circunferencia al ecuador que, a causa a la deformación de la tierra debida a su rotación, es de unos $40.000$ Km). Si el satélite recorre esta órbita en una hora y media, por tanto su velocidad es de \[ v = \frac{6,000 \times 2 \times 3.14}{4893} = 7.703 Km/sec = 7.703 m/sec \] Lo que corresponde a unos $26.339$ Km/h. Este movimiento circular alrededor de la tierra tiene una aceleración centrípeta, es decir, una aceleración hacia el centro de la tierra que lo mantiene en un movimiento circular. Si un cuerpo de mueve de un movimiento circular con velocidad $v$ y radio $r$, su aceleración centrípeta igual a $a=v^2/r$. En este caso \[ \frac{v^2}{r} = \frac{7703^2}{4893} = 9.8 \mbox{m}/\mbox{s}^2 \] Esta aceleración, que tiene un cuerpo cuando órbita alderedor de la tierra a raso del suelo resulta ser la misma que la aceleración que Galileo había encontrado para cuerpos que (también a raso del suelo) caen hasta la tierra. ¿Casualidad? Newton, a riesgo de transformarse en otro Normal Bloom, no opinó lo mismo. Ya hemos visto como el clima intelectual había cambiado, y cómo ya era posible (gracias a Copernico y Galileo) pensar en los mismos términos matemáticos para el mundo sublunar y para el mundo sublunar. Por tanto Newton hizo su hipótesis más famosa: lo que causa que la luna órbite alrededor de la tierra es el mismo fenómeno que causa que los cuerpos caigan al suelo. ¿Cual es esta causa? Newton tenía ya una a disposición en su segunda ley del movimiento: lo que causa un cambio de dirección o magnitud de una velocidad es una fuerza. Lo que se formaliza en la ecuación $F=ma$: la aceleración de un cuerpo es proporcional a la fuerza que actúa en él, y la constante de proporcionalidad es dada por la masa del cuerpo. Por tanto podemos decir, con más precisión: la fuerza que hace que la luna órbite alrededor de la tierra es la misma que hace que los cuerpos caigan al suelo. ¿Cómo varia esta fuerza con la distancia del centro de la tierra? Aquí también utilizaremos la tercera ley de Keplero y un poco de álgebra. La tercera ley de Kepler nos dice que, para todo cuerpo que órbita alrededor de otro vale \[ \frac{T^2}{R^3} = K \] donde $K$ es una constante. Por tanto la relación entre el tiempo que se tarda en dar una órbita y el radio de la órbita (es decir, la distancia entre los dos cuerpos), es $T^2=KR^3$, o \[ T = \sqrt{K} \sqrt{R^3} \] La longitud de la órbita es $2\pi{R}$ por tanto la velocidad, que es igual a la distancia recorrida dividida por el tiempo necesario en recorrerla, es \[ v = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi R}{\sqrt{K} \sqrt{R^3}} = \frac{2\pi}{\sqrt{K}} \frac{1}{\sqrt{R}} \] Ya hemos visto que la aceleración de un cuerpo que se mueve con velocidad $v$ en una circunferencia de radio $R$ es $v^2/R$. Es decir, en este caso \[ a = \frac{4 \pi^2}{K} \frac{1}{R^2} \] La aceleración centripeta varia como $1/R^2$. Pero la segunda ley de Newton nos dice que $a=F/m$, y $m$ es una constante independiente de la distancia. Por tanto si la aceleración varia como $1/R^2$, la fuerza también tiene que variar como $1/R^2$. Podemos por tanto escribir \[ F = \frac{C}{R^2} \] donde $C$ es un valor que puede depender de varias cosas, pero que es independiente de $R$.
Hemos dicho que $a=F/m$, donde $m$ es la masa del cuerpo que está en órbita. Hemos dicho que la misma fuerza es responsable de la órbita de los cuerpos y de su caída cuando están cerca de la tierra. Por tanto un cuerpo que órbita debido a nuestra fuerza $F$ también caerá con una aceleración $a=F/m$.
Pero Galileo descubrió que todos los cuerpos caen con la misma aceleración, independiente de su masa. La única manera de mantener $a$ constante cuando $m$ varia es asumir que $F$ es proporcional a $m$. Esto nos lleva a escribir nuestra fuerza como \[ F = \frac{D m}{R^2} \] donde $D$ no depende ni de la distancia ni de la masa del cuerpo que cae (o está en órbita: ya hemos visto que las dos cosas con equivalentes).
Un paso más. Newton asume, coherentemente con la nueva unificación del mundo celeste con el mundo sublunar, que todos los cuerpos están compuestos de materia, con masa y que por tanto un cuerpo $A$ influye en un cuerpo $B$ según el mismo mecanismo en que el cuerpo $B$ influye en el cuerpo $A$. Es decir, cuando una piedra cae por tierra, no es sólo la tierra que atrae la piedra, sino también la piedra que atrae la tierra. Esta segunda acción no produce efectos apreciables en cuanto la masa de la tierra es mucho más grande que la masa de la piedra, por tanto la aceleración que la piedra impone a la tierra es, esencialmente, cero. Pero existe, y genera una simetría en la expresión de la fuerza: en la fórmula anterior la masa que aparecía era la masa de la piedra, en cuanto considerábamos que la tierra atrae la piedra. Pero si la piedra atrae la tierra, podemos escribir la misma fórmula con la masa de la tierra: \[ F = \frac{D' M}{R^2} \] donde $M$ es la masa de la tierra: la fuerza es proporcional a ambas masas, por tanto la podemos escribir como algo proporcional al producto de las dos: \[ F = \frac{G M m}{R^2} \] Esta es la fórmula de la gravitación universal de Newton. La constante $G$, constante de gravitación universal, es una constante de la naturaleza, y la teoría de Newton no permite calcularla: es necesario medirla.
Quiero resaltar los resultados importantes que hemos conseguido con medios muy sencillos. Todo lo que hemos necesitado son las leyes de Kepler, la segunda ley de Newton, la constancia de la aceleración de caída para todo cuerpos (y su valor), la masa y distancia de la luna y el diámetro de la tierra. Además de estos valores y conceptos, hemos necesitado una idea fundamental, quizás la idea que hizo imposible llevar a esta ley antes del Siglo XVII: la idea que las causas que producen los fenómenos que observamos en la tierra son las mismas que producen los fenómenos celestes. Esta idea, nada obvia y que ha necesitado una larga elaboración teórica, es la que ha permitido llevar desde unas medidas sencillas y, en gran parte, conocidas desde la antigüedad, a una de las fórmulas más importantes de la física moderna. Las medidas estaban, pero no se podía haber llegado a la gravitación universal sin esta idea fundamental. En un momento como este, dominado por el "big data" y la "inteligencia artificial" que funciona procesando, de manera bastante ciega, cantidades enormes de datos, en un momento en que personas como Nicolar Negroponte han dictado el "fin de la teoría", afirmando que con tantos datos no la necesitamos, en este momento es importante recordar la importancia de las ideas fundacionales para el progreso del conocimiento.
Añado, para concluir, que el simple razonamiento que he seguido aquí no es el que publicó Newton en sus Pricipia mathematica philosophiae naturalis. Las aproximaciones que he hecho habrían causado que su teoría (nueva y controvertida para su época) no sería aceptada. Newton tuvo que considerar que las trayectorias de los planetas son elípticas, y por tanto desarrollar un análisis mucho más complejo. Hoy en día este análisis se lleva a cabo en los cursos universitarios de introducción a la física gracias al cálculo diferencial, creado independientemente por el mismo Newton y por Leibniz. Pero, a pesar de ser uno de sus inventores, Newton no pudo ni siquiera utilizar este instrumento, también demasiado nuevo y controvertido (y, hasta el Siglo XIX, muy informal): tuvo que desarrollar toda su argumentación con métodos geométrico. Un trabajo poco elegante y mu complejo para llegar a una de las fórmulas más elegante y generales de la física, seguramente la fórmula física más importante por lo menos hasta las ecuaciones de Mazwell o la entropía.
