En el edificio donde trabajo, de cinco plantas, hay cuatro ascensores. Este verano, nos hemos encontrado una novedad: de los cuatro, tres han sido cerrado, "por ahorro energético", y sólo uno sigue funcionando. La cuestión es: ¿estamos seguros que usar un solo ascensor ahorra energía?
Cada vez que usamos un ascensor para ir de una planta $p_1$ a una planta $p_2$, el asensor hace dos tipos de viajes: uno, vacío, de la planta donde se encuentra a la planta donde estaos y e segundo, con nosotros dentro, de la planta $p_1$ a la $p_2$. Allí se queda hasta que alguien necesite usarlo otra vez. La cantidad de viajes que se hace con personas a bordo y su longitud no cambia apreciablemente con el número de ascensores: depende sólo de la cantidad de personas y de donde tienen que ir (hay una pequeña influencia de que hablaremos más adelante). Lo que cambia con el número de ascensores es el número y la longitud de los viajes vacíos, los viajes que se hacen para llegar a la planta donde alguien ha llamado el ascensor.
Digamos que en el edificio hay $m$ ascensores y que, en un momento dado, el ascensor número $k$ ($k=1,\ldots,m$) se encuentre en la planta $\pi_k$. Cuando yo, desde la planta $p$, llamo un ascensor, el que me llegará será el más cercano a la planta $p$. Es decir, la longitud del viaje vacío será
\begin{equation} v = \min_{k=1,\ldots,m} |\pi_k-p| \end{equation}
La intuición nos dice que cuantos más ascensores haya tanto más será fácil que uno esté estacionado justo cerca de la planta donde estamos nosotros. Es decir, la intuición nos dice que si tenemos más ascensores, hacemos viajes vacíos más cortos: con más ascensores ahorramos energía.
¿Es válida nuestra intuición? Hay dos maneras de verificarla. Podemos calcular teoricamente el recorrido medio (en el viaje vacío: los otros no nos interesan, dado que siempre son iguales) de todos los ascensores como función del número de ascensores, o podemos ejecutar una simulación con ordenador. La primera solución es claramente la más interesante, pero es relativamente complejam y la dejo para el apéndice. Aquí considero la simulación.
El programa considera un edificio de $N$ plantas con $M$ ascensores ($N$ y $M$ son parámetros que hacemos variar para ver como cambia el número de viajes vacíos). La simulación considera un número $P$ de personas, cada una con un despacho en una de las plantas ($P$ es suficientemente grande como para que haya muchas personas en todas las plantas). Cada persona puede estar sólo en dos plantas: la planta donde tiene el despacho o la planta baja (1). Durante la simulación se elige una persona al azar para viajar. Si la persona se encuentra en la planta de su despacho, viajará a la planta baja, si se encuentra en la planta baja viajará a la planta de su despacho.
Para viajar, el sistema buscará el ascensor que en ese momento se encuentra más cerca, lo llevará (vacío) a la planta donde está la persona y viajará con la persona a la planta donde esta tiene que ir.
Aquí tenemos una cuestión de estrategia. Digamos que un ascensor acaba de terminar un viaje con una persona que desde la planta baja ha subido a la planta $k$. ¿Donde se posicionará el ascensor para esperar el próximo pasajero? En muchos edificios, tras un tiempo parado, el ascensor se posicionará en la planta baja. La idea es que, dado que muchos viajes empiezan en la planta baja, esto minimiza el tiempo de espera. Por otro lado, es fácil demostrar que la estrategia más eficiente, la que minimiza el número de viajes vacíos del ascensor es simplemente quedarse donde está. Es decir, desde el punto de vista de la eficiencia energética lo mejor para un ascensor que lleva a la planta $k$ es quedarse en la planta $k$ hasta que alguien lo llama a otra planta. Esta es la estrategia que asumimos en la simulación (y, también, en el model teórico).
El resultado es ilustrado en la figura siguiente. Las gráficas se refieren a edificios de 10 y 30 plantas.
Se ve claramente que, cuantos más ascensores tanto menos es la longitud de los viajes vacíos: nuestra intuición era correcta. Eliminar ascensores no sólo no reduce el consumo, sino que lo aumenta. La simulación y el modelo teórico nos confiamrn nuestra intuición: reducir el número de ascensores no sólo no ahorra energía, sino que aumenta el consumo.
En nuestra simulación hemos hecho una aproximación que no se corresponde enteramente a la realidad: hemos asumido que en cada viaje el ascensor sólo va a una planta. En realidad, puede pasar que, por ejemplo, se encuentren esperando en la planta baja dos personas que, digamos, tienen que ir una a la segunda planta y una a la cuarta. En este caso las dos compartirán el ascensor y en un sólo viaje el ascensor llevará una persona a la segunda planta y una a la cuarta. Esta situación supone un ahorro respeto a nuestras estimaciones y, dado que con un ascensor uno tiene que esperar, en media, más que con muchos, si las personas llegan con intervalos de tiempo aleatorio, esperar más tiempo aumenta la posibilidad de que llegue alguien con quien compartir el viaje. Esto supone una pequeña ventaja de tener un sólo ascensor respeto a tener muchos, pero no cambia los resultados, sobre todo en un periodo como el verano en una universidad, en que hay poca gente, y la probabilidad de que dos compartan ascensor es bastante baja.
Como consideración final, concluimos que la eficacia de cerrar tres de los cuatros ascensores en mi edificio se basa en un (dudoso) efecto psicológico: cerrando tres ascensores para ahorrar energía (y publicando que esta es la razçon del cierre) se puede concenciar la gente sobre la necesidad de ahorrar energía y animarlas a usar las escaleras. Este efecto tiene que enfrentarse al efecto opuesto: hay gente que normalmente usa las escaleras y, viendo que el rectorado intenta evitar que usen el ascensor, empezarán a usarlo.
En definitiva: parece que cerrar ascensores para ahorrar energía es una mala idea.
El modelo teórico
Consideramos un edificio con $n+1$ plantas ($n$ más la planta baja), numeradas como $[0,1,\ldots,n]$ y $m$ ascensores.Empezamos el modelo teórico considerando un solo ascensor y determinando la probabilidad que, en un momento dado, este ascensor se encuentre en la planta $k$ tras terminar un viaje. Según nuestro modelo, la mitad de los viajes llegan a la planta baja, lo que significa que hay una probabilidad $1/2$ que el ascensor esté en la planta baja. La probabilidad que esté en una de las otras plantas es uniforme, dado que las personas tienen despacho en cualquer planta con la misma probabilidad. Normalización nos da \begin{equation} p(u) = \begin{cases} \frac{1}{2} & u = 0\\ \frac{1}{2n} & 1 \le u \le n \\ 0 & u<0 \mbox{ or } u>n \end{cases} \end{equation} (hemos extendido la función a valores de $k$ menores de $0$ y mayores de $n$ aún si estas plantas no existen: esto simplificará las ecuaciones que siguen). Supongamos ahora que estamos en la planta $u$ y llamamos el ascensor. ¿Cuál es la probabilidad que para llegar el ascensor tenga que recorrer $k$ plantas? Para que sea $k=0$, el ascensor tiene que estar en nuestra planta, y esto acontece con probabilidad $p(u)$. Por otro lado el ascensor tendrá que recorrer $k>0$ plantas si dos casos: si se encuentra en la planta $u+k$ o si se encuentra en la planta $u-k$. Llamemos $d_u$ la distancia recorrida por el ascensor. Esto nos da \begin{equation} {\mathbb{P}}[d_u=k] = \pi_u(k) = \begin{cases} p(u) & k=0 \\ p(u+k) - p(u-k) & k > 0 \end{cases} \end{equation} (en la segunda ecuación, es posible que los valores $u-k$ y $u+k$ salgan del rango $[0,\ldots,n]$. Esto no cambia al definición en cuanto hemos definido $p(u)=0$ en esos rangos). La probabilidad que la distancia que el ascensor tenga que recorrer es como mucho $k$ es \begin{equation} {\mathbb{P}}[d_u\le k] = \Pi_u(k) = \sum_{h=0}^k \pi_u(k) = p(u) + \sum_{h=1}^k p(u+h) + p(u-h) \end{equation} Todo esto se refiere a un solo ascensor. Si tenemos $m$, y asumimos que se mueven el uno independendientemente del otro, las fórmulas estándar de la estadística nos dice que la probabilidad que por lo menos uno esté a una distancia $d_u\le{k}$ de nosotros es \begin{equation} \Pi_u^{(m)}(k) = 1 - [1-\Pi_u(k)]^m \end{equation} y la probabilidad de que uno esté a una distancia exactamente $k$ es \begin{equation} \pi_u^{(m)}(k) = \Pi_u^{(m)}(k) - \Pi_u^{(m)}(k-i) \end{equation} La distancia media (medida en número de plantas) que un elevador tiene que viajar para alcanzarnos, dado que nos encontramos en la planta $u$ es \begin{equation} \Delta_m(u) = \sum_{k=0}^n k \pi_u^{(m)}(k) \end{equation} Todo esto vale si nos encontramos en la planta $u$. La probabilidad de encontrarnos en una planta dada es $p(u)$, por tanto la distancia media que los ascensores tendrán que viajar es \begin{equation} \Delta_m = \sum_{u=0}^n p(u) \Delta_m(u) \end{equation} Esta es la función que utilizamos para derivar la curva continua que se ve en la gráfica.
(1) El hecho que personas puedan estar en otras plantas no cambia la estadísticas del sistema en cuanto, en media, por cada persona con despacho en la planta $k$ que se encuentra en la planta $h$, hay una persona con despacho en la planta $h$ que se encuentra en la planta $k$
